Question

【題目】已知橢圓： 過點，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）， 是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于， 兩點， 交橢圓于另一個點，求面積取得最大值時直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：(1)由條件布列關于的方程組，得到橢圓的方程；（2）設： ，分類，聯立方程，利用根與系數關系表示面積， ，然后利用均值不等式求最值.

試題解析：

（1）由題意得，解得，

所以橢圓方程為.

（2）由題知直線的斜率存在，不妨設為，則： .

若時，直線的方程為， 的方程為，易求得，

，此時.

若時，則直線： .

圓心到直線的距離為.

直線被圓截得的弦長為.

由 ，

得，

故 .

所以

.

當時上式等號成立.

因為，

所以面積取得最大值時直線的方程應該是.