Question

【題目】設函數f（x）=x（x﹣1）2 ， x＞0．
（1）求f（x）的極值；
（2）設0＜a≤1，記f（x）在（0，a]上的最大值為F（a），求函數 的最小值；
（3）設函數g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t為常數），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的實數m有且只有一個，求實數m和t的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=（x﹣1）2+2x（x﹣1）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），x＞0．令f′（x）=0，得x= 或x=1，f（x），f′（x）隨x的變化情況如下表

∴當x= 時，有極大值f（ ）= ，當x=1時，有極小值f（1）=0

（2）解：由（1）知：f（x）在（0， ]，[1，+∞）上是增函數，在[ ，1]上是減函數，

①0＜a≤ 時，F（a）=a（a﹣1）2，G（a）=（a﹣1）2≥

特別的，當a= 時，有G（a）= ，

②當 ＜a≤1時，F（a）=f（ ）= ，G（a）= ≥

特別的，當a=1時，有G（a）= ，

由①②知，當0＜a≤1時，函數 的最小值為

（3）解：由已知得h1（x）=x+m﹣g（x）=2x2﹣3x﹣lnx+m﹣t≥0在（0，+∞）上恒成立，

∵ ，

∴x∈（0，1）時，h′1（x）＜0，x∈（1，+∞）時，h1（x）＞0

∴x=1時，h′1（x）取極小值，也是最小值，

∴當h1（1）=m﹣t﹣1≥0，m≥t+1時，h1（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

同樣，h2（x）=f（x）﹣x﹣m=x3﹣2x2﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，

∵h′2（x）=3x（x﹣ ），

∴x∈（0， ）時，h′2（x）＜0，x∈（ ，+∞），h′2（x）＞0，

∴x= 時，h2（x）取極小值，也是最小值，

∴ =﹣ ﹣m≥0，m≤﹣ 時，h2（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

∴t+1≤m≤﹣ ，

∵實數m有且只有一個，∴m=﹣ ，t=

【解析】（1）求導，令f′（x）=0得x= 或x=1，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0得f（x）的單調性，確定函數f（x）的極值．（2）由（1）知f（x）的單調性，以極值點為界，把a分成兩類討論，在兩類分別求出F（a），求G（a），求G（a）最小值，兩個最小值最小者，即為所求．（3）把連等式分成兩個不等式x+m﹣g（x）≥0和f（x）﹣x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立的問題，把不等式的左邊看作一個函數，利用導數求最小值，兩個范圍求交集再由實數m有且只有一個，可求m，進而求t．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．