Question

【題目】已知數列{an}滿足0＜an＜1，且an+1+ =2an+ （n∈N*）．
（1）證明：an+1＜an；
（2）若a1= ，設數列{an}的前n項和為Sn ， 證明： ﹣ ＜Sn＜ ﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由an+1+ =2an+ ，

得 ，即 ，

∴ ，則 ，

又0＜an＜1，

∴ ，即an+1＜an

（2）證明：由an+1+ =2an+ ，得 ．

∴Sn=a1+a2+…+an= +…+

= ．

又∵an+1+ =2an+ ，

∴ ，

∴ ．

由0＜an+1＜an，可知 ，

即 ，

∴2n ，

∴ ， ，

∵ ．

∴ ．

∴ ﹣ ＜Sn＜ ﹣2．

【解析】（1）把已知數列遞推式變形，可得 ，結合0＜an＜1，得到an+1﹣an= ＜0，即an+1＜an；（2）由已知數列遞推式得 ，利用累加法得到Sn= =an+1+ ．把已知遞推式兩邊平方可得 ，利用放縮法得到 ，即2n ，進一步得到 ，然后利用不等式的可加性證得 ﹣ ＜Sn＜ ﹣2．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)．