Question

【題目】在平面直角坐標系上，有一點列P0 ， P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn﹣1 ， Pn ， 設點Pk的坐標（xk ， yk）（k∈N，k≤n），其中xk、yk∈Z，記△xk=xk﹣xk﹣1 ， △yk=yk﹣yk﹣1 ， 且滿足|△xk||△yk|=2（k∈N* ， k≤n）；
（1）已知點P0（0，1），點P1滿足△y1＞△x1＞0，求P1的坐標；
（2）已知點P0（0，1），△xk=1（k∈N* ， k≤n），且{yk}（k∈N，k≤n）是遞增數列，點Pn在直線l：y=3x﹣8上，求n；
（3）若點P0的坐標為（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵xk∈Z，yk∈Z，∴△xk，△yk∈Z，

又∵|△x1||△y1|=2，0＜△x1＜△y1，

∴ ，

∴x1=x0+△x1=0+1=1，

y1=y0+△y1=1+2=3，

∴P1的坐標為（1，3）

（2）解：∵ ，

∴xn=x0+△x1+△x2+…+△xn=n，

又|△xk||△yk|=2，△xk=1，

∴△yk=±2，（k∈N*，k≤n），

∵yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn，

{yk}（k∈N，k≤n）是增數列，

∴ ，

∴yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn=1+2n，

∴pn（n，1+2n），

將Pn（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，

解得n=9．

（3）解：∵yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn，

∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，

設Tn=x0+x1+x2+…+xn

=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△xn）

=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△xn﹣1+△xn，

∵n=2016是偶數，n＞100，

Tn=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△xn﹣1+△xn≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，

當△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，

△y101=﹣1，…，△yn﹣1=1，△yn=﹣1，

△x1=△x2=△x3=…=△xn=2時，（取法不唯一）

（Tn）max=n2+n，

∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272

【解析】（1）由已知得|△x1||△y1|=2，0＜△x1＜△y1 ， ，由此能示出P1的坐標．（2）求出pn（n，1+2n），將Pn（n，1+2n）代入y=3x﹣8，能求出n．（3）y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，設Tn=x0+x1+x2+…+xn=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△xn﹣1+△xn ， 由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值．