Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；

（Ⅱ）若在區間上恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（I）當a=1時，f（x）=ex+x-1，根據導數的幾何意義可求得在點（1，f（1））處的切線的斜率，再由點斜式即可得切線方程，分別求出切線與x軸、y軸的交點A、B，利用直角三角形的面積公式即可求得；
（II）將f（x）≥x2在（0，1）上恒成立利用參變量分離法轉化為在（0，1）上恒成立，再利用導數研究不等式右邊的函數的單調性，從而求出函數的最大值，即可求出a的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）∵當時， ， ，

， ，

∴函數在點處的切線方程為，

即．

設切線與軸的交點分別為，

令得， ，令得， ，

∴， ，∴，

∴函數在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為．

（Ⅱ）由得， ．

令，

則 ，

令，則．

∵，∴， 在區間上為減函數，∴．

又， ，∴，

∴在區間上為增函數， ，

因此只需即可滿足題意．