Question

若a_i，j表示n×n階矩陣

1 1 1 1 … 1 2 3 4 5 … ? 3 5 8   … ? ? ? ? ? … ? n … … … … an，n

中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均為1，第1列的元素為1，2，3，…，n，且a_{i+1，j+1}=a_i+1，j+a_i，j（i、j=1，2，3，…，n-1），則

lim

n→∞

a3，n

n2

=______．

Answer 1

依題意，a_3，1=3，a_3，2=a_3，1+a_2，1=3+2=5，a_3，3=a_3，2+a_2，2=5+3=8，a_3，4=a_3，3+a_2，3=8+4=12，…
∴a_3，2-a_3，1=5-3=2，（1）
a_3，3-a_3，2=8-5=3，（2）
a_3，4-a_3，3=12-8=4，（3）
…
a_3，n-a_3，n-1=n，（n-1）
將這（n-1）個等式左右兩端分別相加得：
a_3，n-a_3，1=2+3+…+（n-1）=

(2+n)(n-1)

2

=

1

2

n²+

1

2

n-1，
∴a_3，n=

1

2

n²+

1

2

n-1+3=

1

2

n²+

1

2

n+2．
則

lim

n→∞

a3，n

n2

=

lim

n→∞

1 2 n2+ 1 2 n+2

n2

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．