Question

已知正四棱錐PQ∥平面SAD，S-ABCD的底面邊長為a，側棱長為2a，點P，Q分別在BD和SC上，并且BP：PD=1：2，PQ∥平面SAD，求線段PQ的長．

Answer 1

分析：由PQ∥平面SAD，可知：在平面SAD中存在直線平行PQ．作出平行線后，通過三角形相似或平行四邊形線段對邊相等來求PQ的長．

解答：解：延長CP交DA延長線于點R，連SR，可證得PQ∥SR，
由△PBC與△PDR相似及已知求得DR=2a．
在等腰△SAD中，求出cos∠SAD=

1

4

，
又在△SDR中，由余弦定理求得SR=

6

a．
∵PQ∥SR，∴

PQ

SR

=

CP

CR

=

BP

BD

=

1

3

，∴PQ=

1

3

SR=

6

3

a．

點評：本題考查空間直線與平面之間的位置關系，線面平行的判定，體現了轉化的數學思想，是中檔題．