Question

【題目】設n≥2，n∈N* ， 有序數組（a1 ， a2 ， …，an）經m次變換后得到數組（bm ， 1 ， bm ， 2 ， …，bm ， n），其中b1 ， i=ai+ai+1 ， bm ， i=bm﹣1 ， i+bm﹣1 ， i+1（i=1，2，…，n），an+1=a1 ， bm﹣1 ， n+1=bm﹣1 ， 1（m≥2）．例如：有序數組（1，2，3）經1次變換后得到數組（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；經第2次變換后得到數組（8，9，7）．
（1）若ai=i（i=1，2，…，n），求b3 ， 5的值；
（2）求證：bm ， i= ai+jCmj ， 其中i=1，2，…，n． （注：i+j=kn+t時，k∈N* ， i=1，2，…，n，則ai+j=a1）

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），

第一次變換為（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），

第二次變換為（8，12，16，20，24，28，…，n+4），

第三次變換為（20，28，36，44，52，…，n+12），

∴b3，5=52

（2）解：用數學歸納法證明：對m∈N*，bm，i= ai+jCmj，其中i=1，2，…，n，

（i）當m=1時，b1，i= ai+jC1j，其中i=1，2，…，n，結論成立，

（ii）假設m=k時，k∈N*時，bk，i= ai+jCkj，其中i=1，2，…，n，

則m=k+1時，bk+1，i=bk，i+bk，i+1= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj﹣1，

=aiCk0+ ai+j（Ckj+Ckj﹣1）+ai+k+1Ckk，

=aiCk+10+ ai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1，

= ai+jCk+1j，

所以結論對m=k+1時也成立，

由（i）（ii）可知，對m∈N*，bm，i= ai+jCmj，其中i=1，2，…，n成立

【解析】（1）根據新定義，分別進行1次，2次，3次變化，即可求出答案，（2）利用數學歸納法證明即可．