Question

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點，直線l：y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個公共點T．
（Ⅰ）求橢圓E的方程及點T的坐標；
（Ⅱ）設O是坐標原點，直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點A、B，且與直線l交于點P．證明：存在常數λ，使得|PT|2=λ|PA||PB|，并求λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設短軸一端點為C（0，b），左右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c＞0， 則c2+b2=a2；
由題意，△F1F2C為直角三角形，
∴ = + ，解得b=c= a，
∴橢圓E的方程為 + =1；
代入直線l：y=﹣x+3，可得3x2﹣12x+18﹣2b2=0，
又直線l與橢圓E只有一個交點，則△=122﹣4×3（18﹣2b2）=0，解得b2=3，
∴橢圓E的方程為 + =1；
由b2=3，解得x=2，則y=﹣x+3=1，所以點T的坐標為（2，1）
（Ⅱ）【解法一】作伸縮變換，令x′=x，y′= y，
則橢圓E變為圓E′：x′2+y′2=6，
設此時P、A、B、T對應的點分別為P′、A′、B′、T′，
如圖所示；

則 = = ，
= = ，
兩式相比，得 ： = ，
由圓冪定理得，|P′T′|2=|P′A′||P′B′|，
所以 = ，即λ= ，原命題成立．
【解法二】設P（x0 ， 3﹣x0）在l上，由kOT= ，l′平行OT，
得l′的參數方程為 ，
代入橢圓E中，得 +2 =6，
整理得2t2+4t+ ﹣4x0+4=0；
設兩根為tA ， tB ， 則有tAtB= ；
而|PT|2= =2 ，
|PA|= =| tA|，
|PB|= =| tB|，
且|PT|2=λ|PA||PB|，
∴λ= = = ，
即存在滿足題意的λ值．
【解析】（Ⅰ）根據橢圓的短軸端點C與左右焦點F1、F2構成等腰直角三角形，結合直線l與橢圓E只有一個交點，利用判別式△=0，即可求出橢圓E的方程和點T的坐標；（Ⅱ）【解法一】作伸縮變換，令x′=x，y′= y，把橢圓E變為圓E′，利用圓冪定理求出λ的值，從而證明命題成立．【解法二】設出點P的坐標，根據l′∥OT寫出l′的參數方程，代入橢圓E的方程中，整理得出方程， 再根據參數的幾何意義求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PT|2=λ|PA||PB|求出λ的值．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．