Question

【題目】已知函數．

（1）求函數在區間上的最小值；

（2）令是函數圖象上任意兩點，且滿足求實數的取值范圍；

（3）若，使成立，求實數的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當時，；當時，.（2）（3）.

【解析】

試題分析：（1）先求導數，再求導函數零點，根據零點與定義區間位置關系分類討論函數單調性：當時，在上單調遞增，當時，在區間上為減函數，在區間上為增函數，最后根據單調性確定函數最小值（2）先轉化不等式不妨取，則，即恒成立，即在上單調遞增，然后利用導數研究函數單調性：在恒成立.最后利用變量分離轉化為對應函數最值，求參數.（3）不等式有解問題與恒成立問題一樣，先利用變量分離轉化為對應函數最值，的最大值，再利用導數求函數的最值，這要用到二次求導，才可確定函數單調性：在上單調遞增，進而確定函數最值

試題解析：解（1），令，則，

當時，在上單調遞增，

的最小值為；

當時，在區間上為減函數，在區間上為增函數，

的最小值為.

綜上，當時，；當時，.

（2）,對于任意的，不妨取，則,

則由可得，

變形得恒成立，

令，

則在上單調遞增，

故在恒成立，

在恒成立.

，當且僅當時取，

.

（3），

.

，，使得成立.

令，則，

令，則由 可得或（舍）

當時，則在上單調遞減；

當時，則在上單調遞增.

在上恒成立.

在上單調遞增.

，即.

實數的最大值為.