Question

“若存在一條與函數y=f（x）的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直線，使y=f（x）在x=

x1+x2

2

處的切線與此直線平行”，則稱這樣的函數y=f（x）為“hold函數”；下列函數：
①y=

1

x

；②y=x²（x＞0）；③y=

1-x2

；④y=lnx；
其中為“hold函數”的是（　　）

• A、①②④
• B、②③
• C、③④
• D、①③④

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數的概念及其構成要素

專題：導數的綜合應用

分析：（1）設一條直線l與函數f（x）=

1

x

的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）的直線，可得k_l=

y2-y1

x2-x1

=-

1

x1x2

．由于f′（x）=-

1

x2

，可得y=f（x）在x=

x1+x2

2

處的切線的斜率k=f′(

x1+x2

2

)=-

4

(x1+x2)2

，可得-

1

x1x2

≠-

4

(x1+x2)2

，因此函數f（x）=

1

x

不是“hold函數”；
（2）設一條直線l與函數f（x）=x²（x＞0）的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直線，可得k_l=

y2-y1

x2-x1

=x₂+x₁．由于f′（x）=2x，可得y=f（x）在x=

x1+x2

2

處的切線的斜率k=f′(

x1+x2

2

)=x₁+x₂，即可判斷出．
同理可判定：（3）為“hold函數”；（4）不為“hold函數”．

解答： 解：（1）設一條直線l與函數f（x）=

1

x

的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁≠x₂）的直線，則k_l=

y2-y1

x2-x1

=

1 x2 - 1 x1

x2-x1

=-

1

x1x2

，
∵f′（x）=-

1

x2

，∴y=f（x）在x=

x1+x2

2

處的切線的斜率k=f′(

x1+x2

2

)=-

4

(x1+x2)2

，假設-

1

x1x2

=-

4

(x1+x2)2

，可得x₁=x₂，與已知x₁≠x₂矛盾，因此函數f（x）=

1

x

不是
“hold函數”；
（2）設一條直線l與函數f（x）=x²（x＞0）的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直線，則k_l=

y2-y1

x2-x1

=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=x₂+x₁，
∵f′（x）=2x，∴y=f（x）在x=

x1+x2

2

處的切線的斜率k=f′(

x1+x2

2

)=2×

x1+x2

2

=x₁+x₂，
∴存在一條直線l與函數y=f（x）的圖象有兩個不同交點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的直線，使y=f（x）在x=

x1+x2

2

處的切線與此直線平行，
因此函數f（x）=x²為“hold函數”；
同理可判定：（3）為“hold函數”；（4）不為“hold函數”．
故選：B．

點評：本題考查了新定義“hold函數”、直線的斜率計算公式、利用導數研究函數切線的斜率，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．