Question

已知橢圓過點，且離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點.

Answer 1

解：（1）由題意可知， ，  而，   且.      解得，
所以，橢圓的方程為.                                         
（2）由題可得.設，                                
直線的方程為，                                       
令，則，即；                  
直線的方程為，                                         
令，則，即；                  
證法一：設點在以線段為直徑的圓上，則，            
即，                                 
，
而，即，
，或.                             
所以以線段為直徑的圓必過軸上的定點或.          
證法二：以線段為直徑的圓為
                          
令，得，                         
∴，而，即，
∴，或.                               
所以以線段為直徑的圓必過軸上的定點或.           
解法3：令，則，令，得            
同理，.                                                     
∴以為直徑的圓為                                   
當時，或.
∴圓過                                              
令，   直線的方程為，                                         
令，則，即；                   
直線的方程為，
令，則，即；                  
∵   ∴在以為直徑的圓上.
同理，可知也在為直徑的圓上.  ∴定點為  

略