Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓經過點，一個焦點是．
（I）求橢圓的方程；
（II）設橢圓與軸的兩個交點為、，不在軸上的動點在直線上運動，直線、分別與橢圓交于點、，證明：直線經過焦點．

Answer 1

（本小題滿分12分）
解：（I）方法1：橢圓的一個焦點是 ，
∴，            ………………（2分）
∵，∴，∴橢圓方程為 ………………（6分）
方法2：，可設橢圓方程為      ………………（2分）
∵在橢圓上，所以（舍去）
∴橢圓方程為                     ………………（6分）
（II）方法1：設、，，，

設是直線上一點，直線方程，方程，
代入得
解得，
∴，  ………………（8分）
代入得
解得，
∴，                     ………………（10分）
∵，∴，
∴、、三點共線，即直線通過上焦點．………………（12分）
方法2：∵、、三點共線，、、三點也共線，
∴是直線與直線的交點，
顯然斜率存在時，設：，代入，
得，，，
直線方程，直線方程，
分別代入，得，，
∴，即，
，
∴對任意變化的都成立，只能，
∴直線通過上焦點．                      ………………（12分）

略