Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，點E在線段AB上．過點E作EF∥BC交AC于點F，將△AEF沿EF折起到△PEF的位置(點A與P重合)，使得∠PEB＝60°.

(1)求證：EF⊥PB.

(2)試問：當點E在線段AB上移動時，二面角PFCB的平面角的余弦值是否為定值？若是，求出其定值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】⑴見證明；⑵當點E在線段AB上移動時，二面角PFCB的平面角的余弦值為定值，且定值為.

【解析】

（1）由已知在Rt△ABC中，中EF∥BC，我們可得到EF⊥AB，即EF⊥EB，EF⊥EP，由線面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PEB，再由線面垂直的定義，即可得到EF丄PB；

（2）在平面PEB中，過P點作PD⊥BE于D，結合（I）的結論可得BH⊥平面BCFE，以B為坐標原點，BC，BE，BH方向分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，則我們可以分別求出平面PFC與平面BFC的法向量，代入二面角的向量夾角公式中，求出其余弦值，判斷后，即可得到答案．

（1）證明：在Rt△ABC中，∵EF∥BC

∴EF⊥AB

∴EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E

∴EF⊥平面PEB

又∵PB平面PEB

∴EF⊥PB

（2）在平面PEB中，過P點作PD⊥BE于D，

由（1）知，EF⊥PD

∴PD⊥平面BCFE

在平面PEB中過點B作直線BH∥PD

則BH⊥平面BCFE

如圖，以B為坐標原點，BC，BE，BH方向分別為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標系，

設PE=x（0＜x＜4），又∵AB=BC=4

∴BE=4﹣x，EF=x

在Rt△PED中，∠PED=60°

∴PD=，DE=

∴BD=4﹣x﹣=4﹣

∴C（4，0，0），F（x，4﹣x，0），P（0，4﹣，）

從而=（x﹣4，4﹣x，0），=（﹣4，4﹣，）

設=（a，b，c）是平面PCF的一個法向量，則：

，

即

令b=1，則=（1，1，）是平面PCF的一個法向量，

又∵平面BCF的一個法向量為=（0，0，1）

設二面角P﹣FC﹣B的平面角為θ，則

Cosθ==

∴當點E在線段AB上移動時，二面角P﹣FC﹣B的平面角的余弦值為定值