Question

【題目】已知數列{xn}滿足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*），證明：當n∈N*時，
（Ⅰ）0＜xn+1＜xn；
（Ⅱ）2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ） ≤xn≤ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）用數學歸納法證明：xn＞0，
當n=1時，x1=1＞0，成立，
假設當n=k時成立，則xk＞0，
那么n=k+1時，若xk+1＜0，則0＜xk=xk+1+ln（1+xk+1）＜0，矛盾，
故xn+1＞0，
因此xn＞0，（n∈N*）
∴xn=xn+1+ln（1+xn+1）＞xn+1 ，
因此0＜xn+1＜xn（n∈N*），
（Ⅱ）由xn=xn+1+ln（1+xn+1）得xnxn+1﹣4xn+1+2xn=xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1），
記函數f（x）=x2﹣2x+（x+2）ln（1+x），x≥0
∴f′（x）= +ln（1+x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）≥f（0）=0，
因此xn+12﹣2xn+1+（xn+1+2）ln（1+xn+1）≥0，
故2xn+1﹣xn≤ ；
（Ⅲ）∵xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤xn+1+xn+1=2xn+1 ，
∴xn≥ ，
由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，
∴ ﹣ ≥2（ ﹣ ）≥…≥2n﹣1（ ﹣ ）=2n﹣2 ，
∴xn≤ ，
綜上所述 ≤xn≤ ．
【解析】（Ⅰ）用數學歸納法即可證明，
（Ⅱ）構造函數，利用導數判斷函數的單調性，把數列問題轉化為函數問題，即可證明，
（Ⅲ）由 ≥2xn+1﹣xn得 ﹣ ≥2（ ﹣ ）＞0，繼續放縮即可證明
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和數列的通項公式，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．