Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處有公共切線，求a，b的值；
（2）當a=3，b=﹣9時，函數f（x）+g（x）在區間[k，2]上的最大值為28，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ax2+1（a＞0），則f′（x）=2ax，k1=2a，

g（x）=x3+bx，則g′（x）=3x2+b，k2=3+b，

由（1，c）為公共切點，可得：2a=3+b ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，

即a=b，代入①式，可得：a=3，b=3．

（2）解：當a=3，b=﹣9時，設h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1

則h′（x）=3x2+6x﹣9，

令h'（x）=0，

解得：x1=﹣3，x2=1；

∴k≤﹣3時，函數h（x）在（﹣∞，﹣3）上單調增，在（﹣3，1]上單調減，（1，2）上單調增，所以在區間[k，2]上的最大值為h（﹣3）=28

﹣3＜k＜2時，函數h（x）在區間[k，2]上的最大值小于28

所以k的取值范圍是（﹣∞，﹣3]

【解析】（1）根據曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，可知切點處的函數值相等，切點處的斜率相等，故可求a、b的值；（2）當a=3，b=﹣9時，設h（x）=f（x）+g（x）=x3+3x2﹣9x+1，求導函數，確定函數的極值點，進而可得k≤﹣3時，函數h（x）在區間[k，2]上的最大值為h（﹣3）=28；﹣3＜k＜2時，函數h（x）在區間[k，2]上的最大值小于28，由此可得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．