Question

已知

m

=（cos（

π

3

+x），0），

n

=（cos（

π

3

-x），2），函數f（x）=

m

•

n

，g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由已知，利用向量的數量積求出函數f（x）的解析式化簡求周期；
（Ⅱ）求出函數h（x）=f（x）-g（x）的解析式化簡求最值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，f（x）=

m

•

n

=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）=（

1

2

cosx-

3

2

sinx）（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，所以f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
（Ⅱ）函數h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

cos（2x+

π

4

），當2x+

π

4

=2kπ，k∈Z時，h（x）取最大值為

2

2

，此時x=kπ-

π

8

，所以h（x）取最大值時x的集合為{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}．

點評：本題考查了向量的數量積的坐標運算以及三角函數解析式的化簡，正確利用兩角和與差的關系式以及倍角公式化簡解析式為最簡形式是關鍵．