Question

如圖，點(diǎn)P在正方體的面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題：①三棱錐的體積不變； ②∥面； ③； ④面面。其中正確的命題的序號(hào)是_______________（寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

. ① ② ④

解：對(duì)于①，容易證明AD₁∥BC₁，從而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一點(diǎn)到平面AD₁C的距離均相等，所以以P為頂點(diǎn)，平面AD₁C為底面，則三棱錐A-D₁PC的體積不變；正確
對(duì)于②，連接A₁B，A₁C₁容易證明A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，從而由線面平行的定義可得；正確；
對(duì)于③由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁平面，若DP⊥BC₁，則DC與DP重合，與條件矛盾；錯(cuò)誤；對(duì)于④，連接DB₁，容易證明DB₁⊥面ACD₁，從而由面面垂直的判定知：正確．
故答案為：①②④