Question

如圖所示，已知為圓的直徑，點為線段上一點，且，點為圓上一點，且．點在圓所在平面上的正投影為點，．

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）要證，需先證平面，由于平面易證，故有，又因為，則證得平面；（2）綜合法是先找到二面角的一個平面角，不過必須根據平面角的定義證明，然后在中解出的三角函數值.
試題解析：（1）連接，由知，點為的中點，
又∵為圓的直徑，∴，
由知，，
∴為等邊三角形，從而． 3分
∵點在圓所在平面上的正投影為點，
∴平面，又平面，
∴，       5分
由得，平面，
又平面，
∴．            6分

（2）（綜合法）過點作，垂足為，連接．         7分
由（1）知平面，又平面，
∴，又，
∴平面，又平面，∴，      9分
∴為二面角的平面角．         10分
由（Ⅰ）可知，，
∴，則，
∴在中，，
∴，即二面角的余弦值為．     14分