Question

【題目】已知正方體 ABCD-A1B1C1D1 的棱長為 1 ， E 、F 分別是棱 AB 、BC上的動點 ，且AE = BF .求直線 A1E 與C1F 所成角的最小值（用反三角函數表示）.

Answer 1

【答案】

【解析】

解法 1 ：如圖， 延長 DC 到點 G， 使得 CG = AE ， 聯 結C1G 、FG.

由題意知，A1E ∥ C1G， A1E 到C1F 所 成 的 角 等 于∠FC1G .

令 AE = CG = x（0≤x≤1）， 則有CF =1 - x ， C1G =，

.

在△C1FG 中， 由余弦定理得

.

∠FC1G 取得最小值就是取得最大值， 亦即取得最小值.

利用等式，

得.

所以，當時，取得最小值.

因此，，即.

故 A1E 與 C1F 所成的最小角為，此時， E 、F 分別為棱AB 、BC 的中點.

解法 2：前面同上， 得到.

則

.

令，得.

所以， 當時，取最小值.

以下與解法 1 同.