Question

【題目】在軸同側的兩個圓：動圓和圓外切（），且動圓與軸相切.求

（1）動圓的圓心軌跡方程；

（2）若直線與曲線有且僅有一個公共點，求和的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）由可得.

由以及兩圓在軸同側，可知動圓圓心在軸上方.

設動圓圓心坐標為，則有.

整理得到動圓圓心軌跡方程為.

另解：由已知可得，動圓圓心的軌跡是以為焦點、為準線、頂點在（不包含該點）的拋物線.于是，軌跡方程為，即.

（2）聯立方程組

消去得.

由，得 ③

由式③可知，從而，.

令，代入式③可得.則，從而，.

再令，代入上式得.

同理，.

令，代入式③可得 ④

對式④進行配方，得.

對上式進行奇偶分析，可知均為偶數，

所以，為8的倍數.故.

令，則.從而，.

所以，.

僅當時，為完全平方數.

于是，解得