Question

17、如圖，在正四棱錐P-ABCD中，點M為棱AB的中點，點N為棱PC上的點．
（1）若PN=NC，求證：MN∥平面PAD；
（2）試寫出（1）的逆命題，并判斷其真假．若為真，請證明；若為假，請舉反例．

Answer 1

分析：（1）取CD的中點E，連接ME，NE，根據三角形中位線的性質及正方形的性質，結合面面平行的判定定理，我們易得到平面MNE∥平面PAD，再由面面平行的性質定理即可得到答案．
（2）根據四種命題的定義，我們易寫出（1）的逆命題，然后取CD的中點E，連接ME，NE，則易判斷出平面MNE∥平面PAD，根據面面平等的性質定理，我們易判斷ME∥PD，根據平行線等分線段定理的推理，即可得到答案．

解答：解：（1）取CD的中點E，連接ME，NE，

則NE∥PD，ME∥AD
又∵NE?平面MNE，ME?平面MNE，ME∩NE=E
AD?平面APD，PD?平面APD，PD∩AD=D
故平面MNE∥平面PAD
又∵MN?平面MNE，
∴MN∥平面PAD
（2）（1）的逆命題為：若MN∥平面PAD，則PN=NC，這也是一個真命題，理由如下：
取CD的中點E，連接ME，NE，

則NE∥PD，則NE∥平面ADP
又由MN∥平面PAD
MN∩ME=M
則平面MNE∥平面PAD
由面面平行的性質得，ME∥PD
∵E為DC的中點，故N這PC的中點，
故PN=NC

點評：本題考查的知識點是直線與平面平等的判定及命題的真假判斷與應用，其中熟練掌握線面平行、面面平行的判斷方法及性質定理，是解答本題的關鍵．