Question

（2013•宿遷一模）如圖，在正四棱錐P-ABCD中，已知PA=AB=

2

，點M為PA中點，求直線BM與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，求出平面PAD的法向量

n

=（1，-1，1），

BM

=（

1

2

，-1，

1

2

），利用向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：解：正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=

2

，∴OA=OB=OP=1
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則有A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），P（0，0，1）
∵M是PA的中點，
∴M（

1

2

，0，

1

2

），

PA

=（1，0，-1），

PD

=（0，-1，-1）
設平面PAD的法向量為

n

=（x，y，1），則由

x-1=0 -y-1=0

，可得

n

=（1，-1，1）
∵

BM

=（

1

2

，-1，

1

2

）
∴cos＜

n

，

BM

＞=

1 2 +1+ 1 2

3 • 6 2

=

2 2

3

∴直線BM與平面PAD所成角的正弦值為

2 2

3

．

點評：本題考查線面角，考查空間向量的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．