Question

【題目】選修4—4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，圓C的方程為 (θ為參數).以坐標原點O為極點， 軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的單位長度，直線的極坐標方程.

(Ⅰ)當時，判斷直線與的關系；

(Ⅱ)當上有且只有一點到直線的距離等于時，求上到直線距離為的點的坐標.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)(2,0)和(0,2).

【解析】試題分析：（I）將曲線方程化成直角坐標方程，計算圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小得出結論；

（II）由題意可知直線與圓相離，且圓心到直線l的距離為2，故到直線l的距離等于2的點在過圓心且與直線l平行的直線上，求出此直線的參數方程代入圓的方程求出該點對應的參數，得出該點的坐標．

試題解析：

(Ⅰ)圓C的普通方程為：(x-1)2+(y-1) 2=2，

直線l的直角坐標方程為：x+y-3=0,

圓心(1,1)到直線l的距離為

所以直線l與C相交.

(Ⅱ) 直線l的普通方程為x+y﹣m=0．

∵C上有且只有一點到直線l的距離等于，

∴直線l與圓C相離，且圓心到直線的距離為．

∴圓C上到直線l的距離等于2的點在過圓心C（1，1）且與直線l平行的直線上．

∴過圓心C（1，1）且與直線l平行的直線的參數方程為： （t為參數）．

將： （t為參數）代入圓C的普通方程得t2=2，

∴t1=，t2=﹣．

當t=時， ，當t=﹣時， ．

∴C上到直線l距離為2的點的坐標為（0，2），（2，0）．