Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的圖像在處的切線方程；

（2）求函數(shù)的極大值；

（3）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）-1；（3）

【解析】

（1）由函數(shù)，可得，求出和切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可得出切線方程．
（2）由，求得，分析在上單調(diào)性和零點(diǎn)，即可得出單調(diào)性與極值．
（3）令，求出，對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．

解：（1）因?yàn)?/span>，

所以，所以，

因?yàn)?/span>經(jīng)過(guò)，

所以的圖像在處的切線方程為；

（2）因?yàn)?/span>，，

所以，

又在遞減，，

所以在，，即在遞增；

在，，即在遞減，

所以在處，取極大值，；

（3）設(shè)，，

所以，

①時(shí)，對(duì)恒成立，

所以在遞增，

又，

所以時(shí)，，

這與對(duì)恒成立矛盾，舍去；

②時(shí)，設(shè)，，，

所以，，

所以對(duì)恒成立，

所以在遞減，

又，

所以對(duì)恒成立，

所以成立；

③時(shí)，設(shè)，，，

解得兩根為，，其中，，

所以，，

所以，，，

所以在遞增，

又，

所以，

這與對(duì)恒成立矛盾，舍去，

綜上：.