Question

由原點(diǎn)O向三次曲線y=x³-3ax²（a≠0）引切線，切點(diǎn)為P₁（x₁，y₁）（O，P₁兩點(diǎn)不重合），再由P₁引此曲線的切線，切于點(diǎn)P₂（x₂，y₂）（P₁，P₂不重合），如此繼續(xù)下去，得到點(diǎn)列：{P_n（x_n，y_n）}
（1）求x₁；
（2）求x_n與x_n+1滿足的關(guān)系式；
（3）若a＞0，試判斷x_n與a的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由

Answer 1

解：（1）由y=x³-3ax²（a≠0）得y′=3x²-6ax
過(guò)曲線上的點(diǎn)P₁（x₁，y₁）的切線L₁的方程為
y-（x₁³-3ax₁²）=（3ax₁²-6ax₁）（x-x₁）
又∵切線L₁過(guò)原點(diǎn)O，-（x₁³-3ax₁²）=（3ax₁²-6ax₁）（x-x₁）化得x₁=

（2）過(guò)曲線上的點(diǎn)P_n+1（x_n+1，y_n+1）處的切線L_n+1方程為
y-（x_n+1³-3ax_n+1²）=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x-x_n+1），
L_n+1過(guò)點(diǎn)P_n（x_n，y_n）得x_n³-3ax_n²-x_n+1³+3ax_n+1²=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x_n-x_n+1），
由于x_n≠x_n+1，分解因式并約簡(jiǎn)，得：x_n²+x_nx_n+1+x_n+1²-3a（x_n+x_n+1）=3x_n+1²-6ax_n+1
∴x_n²+x_nx_n+1-2x_n+1²-3a（x_n-x_n+1）=0
（x_n-x_n+1）（x_n+2x_n+1）-3a（x_n+x_n+1）=0
∴x_n+2x_n+1=3a

（3）由（2）得：x_n+1=-x_n+a，
∴x_n+1-a=-（x_n-a）
故有數(shù)列{x_n-a}是首項(xiàng)為x₁-a=，公比為-的等比數(shù)列
∴x_n-a=，
∴x_n=[1-]a
∵a＞0，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x_n＜a；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)x_n＞a
分析：（1）由y=x³-3ax²（a≠0）求導(dǎo)得直線的斜率，設(shè)出過(guò)曲線上的點(diǎn)P₁（x₁，y₁）的切線L₁的方程，再由切線L₁過(guò)原點(diǎn)O求解；
（2）不妨設(shè)過(guò)曲線上的點(diǎn)P_n+1（x_n+1，y_n+1）處的切線L_n+1方程為y-（x_n+1³-3ax_n+1²）=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x-x_n+1），由L_n+1過(guò)點(diǎn)P_n（x_n，y_n）代入方程，化簡(jiǎn)可得其關(guān)系；
（3）由（2）的結(jié)論有x_n+1=-x_n+a，通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為x_n+1-a=-（x_n-a）有數(shù)列{x_n-a}是首項(xiàng)為x₁-a=，公比為-的等比數(shù)列求得x_n=[1-]a再比較．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義通過(guò)點(diǎn)在線上，構(gòu)造數(shù)列模型考查數(shù)列變形轉(zhuǎn)化及通項(xiàng)間的關(guān)系．