Question

由原點O向三次曲線y=x³-3ax²（a≠0）引切線，切點為P₁（x₁，y₁）（O，P₁兩點不重合），再由P₁引此曲線的切線，切于點P₂（x₂，y₂）（P₁，P₂不重合），如此繼續下去，得到點列：{P_n（x_n，y_n）}
（1）求x₁；
（2）求x_n與x_n+1滿足的關系式；
（3）若a＞0，試判斷x_n與a的大小關系，并說明理由

Answer 1

分析：（1）由y=x³-3ax²（a≠0）求導得直線的斜率，設出過曲線上的點P₁（x₁，y₁）的切線L₁的方程，再由切線L₁過原點O求解；
（2）不妨設過曲線上的點P_n+1（x_n+1，y_n+1）處的切線L_n+1方程為y-（x_n+1³-3ax_n+1²）=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x-x_n+1），由L_n+1過點P_n（x_n，y_n）代入方程，化簡可得其關系；
（3）由（2）的結論有x_n+1=-

1

2

x_n+

3

2

a，通過配方轉化為x_n+1-a=-

1

2

（x_n-a）有數列{x_n-a}是首項為x₁-a=

a

2

，公比為-

1

2

的等比數列求得x_n=[1-(-

1

2

)n]a再比較．

解答：解：（1）由y=x³-3ax²（a≠0）得y′=3x²-6ax
過曲線上的點P₁（x₁，y₁）的切線L₁的方程為
y-（x₁³-3ax₁²）=（3ax₁²-6ax₁）（x-x₁）
又∵切線L₁過原點O，-（x₁³-3ax₁²）=（3ax₁²-6ax₁）（x-x₁）化得x₁=

3a

2

（2）過曲線上的點P_n+1（x_n+1，y_n+1）處的切線L_n+1方程為
y-（x_n+1³-3ax_n+1²）=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x-x_n+1），
L_n+1過點P_n（x_n，y_n）得x_n³-3ax_n²-x_n+1³+3ax_n+1²=（3x_n+1²-6ax_n+1）（x_n-x_n+1），
由于x_n≠x_n+1，分解因式并約簡，得：x_n²+x_nx_n+1+x_n+1²-3a（x_n+x_n+1）=3x_n+1²-6ax_n+1
∴x_n²+x_nx_n+1-2x_n+1²-3a（x_n-x_n+1）=0
（x_n-x_n+1）（x_n+2x_n+1）-3a（x_n+x_n+1）=0
∴x_n+2x_n+1=3a

（3）由（2）得：x_n+1=-

1

2

x_n+

3

2

a，
∴x_n+1-a=-

1

2

（x_n-a）
故有數列{x_n-a}是首項為x₁-a=

a

2

，公比為-

1

2

的等比數列
∴x_n-a=

a

2

(-

1

2

)n-1，
∴x_n=[1-(-

1

2

)n]a
∵a＞0，
∴當n為偶數時，x_n＜a；當n為奇數時x_n＞a

點評：本題主要考查導數的幾何意義通過點在線上，構造數列模型考查數列變形轉化及通項間的關系．