Question

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且．

（1）求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)，、分別為弦、的中點(diǎn)，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）16

【解析】

（1）由拋物線定義可得，故，再由點(diǎn)在拋物線上代入方程即可。

（2）將直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出，同理得出。進(jìn)而求出和 ,又是直角三角形易求面積，利用不等式求出面積的最小值。

（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為．

由拋物線的定義可得，故．

由點(diǎn)在拋物線上，可得，整理得，

解得或，又，所以．

故拋物線的方程為．

（2）由（1）知拋物線的方程為，焦點(diǎn)為，

由已知可得，所以兩直線的斜率都存在且均不為0．

設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，

故直線的方程為．

聯(lián)立方程組，消去，整理得．

設(shè)，，則，

因?yàn)?/span>為弦的中點(diǎn)，所以，

由得，故．

同理可得．

故，

．因?yàn)?/span>，

所以的面積

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．

所以的面積的最小值為16．