Question

【題目】某公司決定對旗下的某商品進行一次評估，該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.

（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？

（2）為了抓住2022年冬奧會契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對該商品進行全面技術革新和銷售策略改革，并提高定價到元.公司擬投入萬作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品改革后的銷售量至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.

Answer 1

【答案】（1）40元（2）至少達到10.2萬件時符合要求，此時每件定價為30元

【解析】

（1）設出每件的定價，根據“銷售的總收入不低于原收入”列不等式，解不等式求得定價的取值范圍，由此求得定價的最大值.（2）利用題目所求“改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和”列出不等式，將不等式分離常數，然后利用基本不等式求得的取值范圍以及此時商品的每件定價.

解：（1）設每件定價為元，

依題意得，

整理得，

解得

所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.

（2）依題意知當時，不等式有解

等價于時，有解，

由于，

當且僅當，即時等號成立，

所以

當該商品改革后銷售量至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.