Question

【題目】給出下列命題：
1）已知兩平面的法向量分別為 =（0，1，0）， =（0，1，1），則兩平面所成的二面角為45°或135°；
2）若曲線 + =1表示雙曲線，則實數k的取值范圍是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）；
3）已知雙曲線方程為x2﹣ =1，則過點P（1，1）可以作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，使點P是線段AB的中點．
其中正確命題的序號是 ．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）
【解析】解：對于（1），兩法向量的夾角為cos＜ ， ＞= = ，即有兩平面所成的二面角為45°或135°，故（1）正確；
對于（2），曲線 + =1表示雙曲線，則（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，
故（2）正確；
對于（3），設過P（1，1）點的直線AB方程為y﹣1=k（x﹣1），
代入雙曲線方程得
（2﹣k2）x2﹣（2k﹣2k2）x﹣（k2﹣2k+3）=0．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
則有x1+x2= ，
由已知 =xp=1，
∴ =2．解得k=2．
又k=2時，△=（4﹣8）2+2（2﹣4）（4﹣4+3）=4＞0，
從而直線AB方程為2x﹣y﹣1=0．
故（3）正確．
所以答案是：（1）（2）（3）．
【考點精析】利用命題的真假判斷與應用對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．