Question

已知函數
（1）若，求證：函數在(1，+∞)上是增函數；
（2）當時，求函數在[1，e]上的最小值及相應的x值；
（3）若存在[l，e]，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）的最小值為1，相應的x值為1；（3）的取值范圍是.

試題分析：（1）當時,，當，，因此要證在上是增函數，只需證明在上有，而這是顯然成立的，故得證；（2）由（1）中的相關結論，可證當時，在上是增函數，在上的最小值即為；（3）可將不等式變形為，因此問題就等價于當時，需滿足，利用導數求函數在上的單調性，可知在上為增函數，故，即的取值范圍是．
（1）當時,，當，，
故函數在上是增函數                 2分；
（2）,當,，
當時，在上非負(僅當，時，)，
故函數在上是增函數,此時.
∴當時,的最小值為1,相應的值為1.         5分；
（3）不等式,可化為.
∵， ∴且等號不能同時取,所以,即，
因而()，
令(),又，
當時，，，
從而(僅當x=1時取等號),所以在上為增函數，
故的最小值為,所以的取值范圍是.        10分.