Question

【題目】已知函數f（x）=2ln（x+1）+ ﹣（m+1）x有且只有一個極值． （Ⅰ）求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求證：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）定義域為（﹣1，+∞），
即求f'（x）=0在區間（﹣1，+∞）上只有一個解，
①當m≠0時，由f'（x）=0得x=1或 ，
則 ，m＜0
②當m=0時， ．得x=1符合題意，
綜上：當m≤0時，f（x）有且只有一個極值
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：m≤0，x=1時f（x）有且只有一個極大值．
又f（x1）=f（x2）（x1≠x2），不妨設﹣1＜x1＜1＜x2
令g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1）
則g（x）=2ln（3﹣x）﹣2ln（x+1）+2x﹣2（m+1）
所以g（x）在（﹣1，1）上為減函數，故g（x）＞g（1）=0
即當﹣1＜x＜1時，f（2﹣x）＞f（x）．
所以f（2﹣x1）＞f（x1）=f（x2），即f（2﹣x1）＞f（x2）
由（Ⅰ）知，f（x）在（1，+∞）上為減函數，且2﹣x1＞1，x2＞1，
所以2﹣x1＜x2 ， 故x1+x2＞2
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，根據函數有且只有一個極值，求出m的范圍即可；（Ⅱ）不妨設﹣1＜x1＜1＜x2 ， 令g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1），根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．