Question

【題目】設{an}是公比不為1的等比數列，其前n項和為Sn ， 且a5 ， a3 ， a4成等差數列．
（1）求數列{an}的公比；
（2）證明：對任意k∈N+ ， Sk+2 ， Sk ， Sk+1成等差數列．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設{an}的公比為q（q≠0，q≠1）

∵a5，a3，a4成等差數列，∴2a3=a5+a4，

∴

∵a1≠0，q≠0，

∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2

∵q≠1，

∴q=﹣2

（2）

證明：對任意k∈N+，Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0

∴對任意k∈N+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差數列．

【解析】（1）設{an}的公比為q（q≠0，q≠1），利用a5 ， a3 ， a4成等差數列結合通項公式，可得 ，由此即可求得數列{an}的公比；（2）對任意k∈N+ ， Sk+2+Sk+1﹣2Sk=（Sk+2﹣Sk）+（Sk+1﹣Sk）=ak+2+ak+1+ak+1=2ak+1+ak+1×（﹣2）=0，從而得證．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比數列的通項公式（及其變式）(通項公式：)，還要掌握等差數列的性質(在等差數列{an}中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；相隔等距離的項組成的數列是等差數列)的相關知識才是答題的關鍵．