Question

已知函數f（x）=x²-4ax，當a＞

1

2

時，對x₁＜x₂＜1恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由題意把|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|化為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-2，進一步轉化為當x＜1時f′（x）＜-2，求出原函數的導函數，則可轉化為a＞

1

2

(x+1)對x＜1恒成立，則a的范圍可求．

解答： 解：由|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，得
|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞2，
∵函數f（x）=x²-4ax的對稱軸方程為x=2a，
當a＞

1

2

時，2a＞1，
則對x₁＜x₂＜1時，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
則|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞2化為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-2，
問題轉化為當x＜1時，f′（x）＜-2恒成立，
∵f（x）=x²-4ax，
∴f′（x）=2x-4a，
即2x-4a＜-2對x＜1恒成立，即a＞

1

2

(x+1)對x＜1恒成立，
∵

1

2

(x+1)＜1，
∴a≥1．
∴實數a的取值范圍是a≥1．
故答案為：a≥1．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，關鍵是對題意的理解與運用，是中檔題．