Question

設，函數.

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）當時，求函數的最小值.

Answer 1

同下

解析:

（1）當a＝1時，f(x)＝x²＋|lnx－1|．

當0＜x＜e時，f(x)＝x²－lnx＋1，f ??(x)＝2x－． ……………………………………2分

令x＝1得f(1)＝2，f ??(1)＝1，所以切點為(1，2)，切線的斜率為1．

所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為x－y＋1＝0． …………………………………5分

（2) ①當x≥e時，f(x)＝x²＋alnx－a，f??(x)＝2x＋（x＞e）．

因為a＞0，所以f??(x)＞0恒成立．所以f(x)在[e，＋∞)上為增函數．

故當x＝e時，y_min＝f(e)＝e²． ………………………………………………………………7分

②當x≤e，即x∈[1，e]時，

f(x)＝x²－alnx＋a，f ??(x)＝2x－＝(x＋)(x－)（1＜x＜e）．

(i)當≤1，即0＜a≤2時，f ??(x)在x∈（1，e）時為正數，所以f(x)在[1，e]上為增函數．故當x＝1時，y_min＝1＋a，且此時f(1)＜f(e)．

(ii)當1＜＜e，即2＜a＜2e²時，f ??(x)在x∈(1，)時為負數，在x∈(，e)時為正數，所以f(x)在[1，)上為減函數，在(，e]上為增函數．

故當x＝時，y_min＝－ln，且此時f()＜f(e)．

(iii)當≥e，即a≥2e²時，f ??(x) 在x∈(1，e)時為負數，所以f(x)在[1，e]上為減函數．在故當x＝e時，y_min＝f(e)＝e²．………………………………………………………………13分

綜上所述，

當a≥2e²時，f(x)在x≥e時和1≤x≤e時的最小值都是e²，所以此時f(x)的最小值f(e)＝e²；

當2＜a＜2e²時，f(x)在x≥e時最小值為e²，在1≤x≤e時，最小值為f()＝－ln()，

而f()＜f(e)，所以此時f(x)的最小值f()＝－ln．

當0＜a≤2時，f(x)在x≥e時最大值為e²，在1≤x≤e時最小值為f(1)＝1＋a，而f(1)＜f(e)，所以此時f(x)的最小值為f(1)＝1＋a．

所以函數y＝f(x)的最小值為y_min＝……………………16分