【題目】已知橢圓E的焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為 
． （Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）已知點A（0，1）和直線l：y=x+m，線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB，求實數m的值．
【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓E的長軸長為4，∴a=2，離心率為 
． ∴ 
，c= 
，∴b=1
∵橢圓E的焦點在x軸上，
∴橢圓E的標準方程為 
；
（Ⅱ）由條件可得直線AB的方程為y=﹣x+1．于是，有 
， 
．
設弦AB的中點為M，則由中點坐標公式得 
， 
，由此及點M在直線l得 
【解析】（Ⅰ）根據已知可求出橢圓中的a，b的值，再根據橢圓的焦點在x軸上，就可得到橢圓方程．（Ⅱ）根據直線AB與直線l：y=x+m垂直，可得直線AB的斜率，結合A點坐標就可求出直線AB的方程，代入橢圓方程，化簡，利用韋達定理求出AB的中點坐標，代入直線l的方程，就可求出m的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：
，焦點在y軸：
．
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【題目】已知向量 
=（cosα﹣ 
，﹣1）， 
=（sinα，1）， 與 為共線向量，且α∈[﹣ 
，0]．
（1）求sinα+cosα的值；
（2）求 
的值．
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【題目】某公司今年年初用25萬元引進一種新的設備，投入設備后每年收益為21萬元．該公司第n年需要付出設備的維修和工人工資等費用an的信息如圖． 
（1）求an；
（2）引進這種設備后，第幾年后該公司開始獲利；
（3）這種設備使用多少年，該公司的年平均獲利最大？
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【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2． （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的余弦值．
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【題目】以邊長為
的正三角形
的頂點
為坐標原點，另外兩個頂點在拋物線
上，過拋物線
的焦點
的直線
過交拋物線
于
兩點.
（1）求拋物線
的方程；
（2）求證： 
為定值；
（3）求線段
的中點的軌跡方程.
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【題目】已知函數f（x）=ex+ae﹣x ， 若f′（x）≥2 
恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A.[3，+∞）
B.（0，3]
C.[﹣3，0）
D.（﹣∞，﹣3]
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