Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA=2． （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB；
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（I）連接BD， ∵四邊形ABCD是菱形，∠BCD=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∵E是CD的中點，∴BE⊥CD，
∵CD∥AB，∴BE⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
∴PA⊥BE，又PA平面PAB，AB平面PAB，PA∩AB=A，
∴BE⊥平面PAB，又BE平面PBE，
∴平面PBE⊥平面PAB．
（II）設AC∩BD=O，以OB所在直線為x軸，以OC所在直線為y軸，
以平面ABCD過O的垂線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，﹣ ，0），B（ ，0，0），C（0， ，0），D（﹣ ，0，0），
P（0，﹣ ，2），E（﹣ ， ，0），
∴ =（0，0，2）， =（﹣ ， ，0）， =（﹣ ， ，0）， =（﹣ ，﹣ ，2）．
設平面PAD的法向量為 =（x1 ， y1 ， z1），平面PBE的法向量為 =（x2 ， y2 ， z2），
則 ， ．
∴ ， ．
令x1= 得 =（ ，1，0），令x2=1得 =（1， ，1）．
∴cos＜ ， ＞= = = ．
∵平面PAD和平面PBE所成二面角為銳角，
∴平面PAD和平面PBE所成二面角的余弦值為 ．

【解析】（I）根據菱形的性質得出BE⊥AB，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥BE，故而BE⊥平面PAB，于是結論得證；（II）設AC，BD交點為O，以O為原點建立坐標系，求出兩個平面的法向量 ，則|cos＜ ＞|即為所求．