Question

【題目】水培植物需要一種植物專用營養液，已知每投放（且）個單位的營養液，它在水中釋放的濃度 (克/升）隨著時間 (天)變化的函數關系式近似為，其中，若多次投放，則某一時刻水中的營養液濃度為每次投放的營養液在相應時刻所釋放的濃度之和，根據經驗，當水中營養液的濃度不低于4(克/升)時，它才能有效.

（1）若只投放一次2個單位的營養液，則有效時間最多可能達到幾天？

（2）若先投放2個單位的營養液，3天后再投放個單位的營養液，要使接下來的2天中，營養液能夠持續有效，試求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）3（2）

【解析】

（Ⅰ）營養液有效則需滿足，由分段函數，對討論，解不等式即可得到結論；
（Ⅱ）設第二次投放營養液的持續時間為天，則此時第一次投放營養液的持續時間為天，且；設設為第一次投放營養液的濃度， 為第二次投放營養液的濃度， 為水中的營養液的濃度；；可得在上恒成立，運用參數分離和換元法，結合基本不等式，即可得到的最小值．

（1）營養液有效則需滿足，

則或，

即為或，

解得，

所以營養液有效時間最多可達3天；

（2）設第二次投放營養液的持續時間為天，

則此時第一次投放營養液的持續時間為天，且；

設為第一次投放營養液的濃度， 為第二次投放營養液的濃度， 為水中的營養液的濃度；

∴，

，

由題意得在上恒成立，

∴在上恒成立，

令，則，

又，

當且僅當，即時等號成立；

因為

所以的最小值為.