Question

設數列{a_n}滿足：a₁=

5

6

，且an=

1

3

an-1+

1

3

（n∈N^*，n≥2）
（1）求證：數列{an-

1

2

}為等比數列，并求數列{a_n}的通項a_n；
（2）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an=

1

3

an+

1

3

，兩邊減去

1

2

，構造得出an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)（n∈N^*，n≥2），即可證明數列{an-

1

2

}是以

1

3

為公比的等比數列，通過求出{an-

1

2

}的通項，求出數列{a_n}的通項a_n；
（2）根據（1）的結果，利用分組求和：分成等比數列{(

1

3

)n}與常數列{

1

2

}的和計算求解

解答：解：（1）由an=

1

3

an+

1

3

，兩邊減去

1

2

得an-

1

2

=

1

3

(an-1-

1

2

)（n∈N^*，n≥2）
根據等比數列的定義，可知數列{an-

1

2

}是以

1

3

為公比的等比數列，又首項為a₁-

1

2

=

5

6

-

1

2

=

1

3

所以an-

1

2

=(

1

3

)n，所以an=

1

2

+(

1

3

)n
（2）可以分成等比數列{(

1

3

)n}與常數列{

1

2

}的和．由分組求和得Sn=

1 3 (1-( 1 3 )n)

1- 1 3

+

1

2

n=

1

2

-

1

2

(

1

3

)n+

1

2

n

點評：本題考查等比數列的判定、通項公式求解．考查變形構造、轉化、計算能力．