Question

設數列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=ca_n³+1-c，n∈N^*，其中c為實數
（1）證明：a_n∈[0，1]對任意n∈N^*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設0＜c＜

1

3

，證明：a_n≥1-（3c）^n-1，n∈N^*；
（3）設0＜c＜

1

3

，證明：

a

2 1

+

a

2 2

+…

a

2 n

＞n+1-

2

1-3c

，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）先證明必要性：a₂∈[0，1]?c∈[0，1]，再證明充分性：設c∈[0，1]，對n∈N^*用數學歸納法證明a_n∈[0，1]．
（2）設0＜c＜

1

3

，當n=1時，a₁=0，結論成立．當n≥2時，a_n=ca_n-1³+1-c，1-a_n=c（1-a_n-1）（1+a_n-1+a_n-1²），所以1+a_n-1+a_n-1²≤3且1-a_n-1≥0，由此能夠導出a_n≥1-（3c）^n-1（n∈N^*）．
（3）設0＜c＜

1

3

，當n=1時，

a

2 1

=0＞2-

2

1-3c

，結論成立．當n≥2時，a_n²≥（1-（3c）^n-1）²=1-2（3c）^n-1+（3c）^2（n-1）＞1-2（3c）^n-1，所以

a

2 1

+

a

2 2

+…

a

2 n

＞n+1-

2

1-3c

，n∈N*．

解答：解：（1）必要性：∵a₁=0，∴a₂=1-c，
又∵a₂∈[0，1]，∴0≤1-c≤1，即c∈[0，1]
充分性：設c∈[0，1]，對n∈N^*用數學歸納法證明a_n∈[0，1]
當n=1時，a₁=0∈[0，1]．假設a_k∈[0，1]（k≥1）
則a_k+1=ca_k³+1-c≤c+1-c=1，且a_k+1=ca_k³+1-c≥1-c=≥0
∴a_k+1∈[0，1]，由數學歸納法知a_n∈[0，1]對所有n∈N^*成立

（2）設0＜c＜

1

3

，當n=1時，a₁=0，結論成立，
當n≥2時，∵a_n=ca_n-1³+1-c，
∴1-a_n=c（1-a_n-1）（1+a_n-1+a_n-1²）
∵0＜C＜

1

3

，由（1）知a_n-1∈[0，1]，所以1+a_n-1+a_n-1²≤3且1-a_n-1≥0
∴1-a_n≤3c（1-a_n-1）
∴1-a_n≤3c（1-a_n-1）≤（3c）²（1-a_n-2）≤≤（3c）^n-1（1-a₁）=（3c）^n-1
∴a_n≥1-（3c）^n-1（n∈N^*）
（3）設0＜c＜

1

3

，當n=1時，

a

2 1

=0＞2-

2

1-3c

，結論成立
當n≥2時，由（2）知a_n≥1-（3c）^n-1＞0
∴a_n²≥（1-（3c）^n-1）²=1-2（3c）^n-1+（3c）^2（n-1）＞1-2（3c）^n-1
∴a₁²+a₂²+…+a_n²=a₂²+…+a_n²＞n-1-2[3c+（3c）²+…+（3c）^n-1]
=n-1-2×

3c[1-(3c)n-1]

1-3c

=n-1-2×

3c-(3c)n

1-3c

=n+1-

2(1-(3c)n)

1-3c

＞n+1-

2

1-3c

點評：本題考查數列和不等式的綜合應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地選用證明方法．