Question

如圖①，四邊形ABCD為等腰梯形，AE⊥DC，AB=AE=

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DC，F為EC的中點，現將△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如圖②，且平面PAE⊥平面ABCE．

（Ⅰ）求證：平面PAF⊥平面PBE；
（Ⅱ）求三棱錐A-PBC與E-BPF的體積之比．

Answer 1

分析：（I）先證明四邊形AEFB為正方形，可證得BE⊥AF；再利用面面垂直的性質，證得線面垂直，再得PE⊥AF，由此可證AF⊥平面PBE，從而證明面面垂直；
（II）根據V_A-PBC=V_P-ABC，V_E-BPF=V_P-BEF，只需判斷三棱錐P-ABC與P-BEF的高和底面△ABC與△BEF的面積的數量關系，可得三棱錐A-PBC與E-BPF的體積之比．

解答：解：（I）證明：∵EF∥AB，AB=EF=

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CD，
∴四邊形AEFB為平行四邊形，又AE=AB，AE⊥CD，
∴四邊形AEFB為正方形，∴BE⊥AF，
∴平面PAE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=AE，
∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，
又PE∩BE=E，∴AF⊥平面PBE，AF?平面PAF，
∴平面PBE⊥平面PAF．
（II）∵V_A-PBC=V_P-ABC，
V_E-BPF=V_P-BEF，
∵三棱錐P-ABC與P-BEF的高相等，
底面△ABC與△BEF的面積也相等，
∴三棱錐A-PBC與E-BPF的體積之比為1：1．

點評：本題考查了面面垂直的證明，考查了棱錐的體積公式，利用三棱錐的換底性求三棱錐的體積是常用方法．