Question

下面玩擲骰子放球游戲，若擲出1點，甲盒中放一球，若擲出2點或3 點，乙盒中放一球，若擲出4點、5點或6點，丙盒中放一球，設擲n次后，甲、乙、丙各盒內的球數分別為x，y，z．
（1）n=3時，求x，y，z成等差數列的概率．
（2）當n=6時，求x，y，z成等比數列的概率．

Answer 1

分析：（1）根據x+y+z=3，且2y=x+z，求出x、y、z的值有三種情形，然后分別求出三種情形時所對應的概率，最后根據互斥
事件的概率公式解之即可．
（2）根據n=6，且x、y、z成等比數列時，則x+y+z=6，且y²=x•z求出x、y、z的值，然后根據n次獨立重復試驗的概率
公式解之即可．

解答：解：（1）∵x+y+z=3，且2y=x+z，∴①

x=0 y=1 z=2

，或 ②

x=1 y=1 z=1

，或③

x=2 y=1 z=0

．
①表示：擲3次，1次出現2點或3點，2次出現4點，5點或6點，共

C

1 3

種情況．
故情況①的概率為 3•(

1

6

)0•(

2

6

)1•(

3

6

)2=

1

4

．
情況②表示：投擲3次出現1次1點、1次2點或是3點、1次4點或5點或6點，它的概率為 3•2•

1

6

•

2

6

 •

3

6

=

1

6

．
情況③表示：投擲3次出現2次1點、1次2點或3點，它的概率為3•(

1

6

)2•(

2

6

)1•(

3

6

)0=

1

36

．
故n=3時，x、y、z成等差數列，概率為

1

4

+

1

6

+

1

36

=

4

9

．
（2）n=6時，x、y、z成等比數列，由x+y+z=6，且y²=x•z得：x=y=z=2．
此時概率為

C

2 6

•(

1

6

)2•

C

2 4

•(

1

3

)2•

C

2 2

•(

1

2

)2=

5

72

．

點評：本題主要考查了等差數列、等比數列的性質，以及離散型隨機變量的期望和n次獨立重復試驗的概率，同時考查了
計算能力，屬于中檔題．