Question

已知函數f(x)=

1

2

cos2x-sinxcosx-

1

2

sin2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）函數圖象的對稱軸方程；
（3）求f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：先根據二倍角公式和輔角公式將函數化簡為f（x）=Acos（wx+ρ）的形式
（1）根據T=

2π

w

可得到答案．
（2）將2x+

π

4

看作一個整體，由余弦函數的對稱性可得到答案．
（3）將2x+

π

4

看作一個整體，由余弦函數的單調性可得到答案．

解答：解：f(x)=

1

2

[(cos2x-sin2x)-2sinxcosx]
=

1

2

(cos2x-sin2x)
=

2

2

cos(2x+

π

4

)
（I）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（II）2x+

π

4

=kπ，則x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．
∴f（x）函數圖象的對稱軸方程是x=

kπ

2

-

π

8

，k∈Z．
（注：若寫成x=kπ-

π

8

或x=kπ+

3π

8

，k∈Z也可以）
（III）令2kπ≤2x+

π

4

≤2kπ+π
則kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z令2kπ-π≤2x+

π

4

≤2kπ
則kπ-

5π

8

≤x≤kπ-

π

8

，k∈Z
故f（x）的單調增區間為[kπ-

5π

8

，kπ-

π

8

]，k∈Z.
f（x）的單調減區間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z.

點評：本題主要考查三角函數的化簡和性質．對于三角函數的性質--周期、對稱性、單調性是高考的熱點，要熟練掌握．