Question

【題目】設m∈R，函數f（x）=ex﹣m（x+1） m2（其中e為自然對數的底數）
（Ⅰ）若m=2，求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）已知實數x1 ， x2滿足x1+x2=1，對任意的m＜0，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，求x1的取值范圍；
（Ⅲ）若函數f（x）有一個極小值點為x0 ， 求證f（x0）＞﹣3，（參考數據ln6≈1.79）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）m=2時，f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2，

令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，

故函數f（x）在[ln2，+∞）遞增；

（Ⅱ）∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，x1+x2=1，

∴2（x1﹣1）m﹣（ ﹣ ）+e﹣1＜0對任意m＜0恒成立，

令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（ ﹣ ）+e﹣1，

當2（x1﹣1）=0時，g（m）=0＜0不成立，

則 ，解得：x1＞1；

（Ⅲ）由題意得f′（x）=ex﹣m，f′（x0）=0，故 =m，

f（x0）= ﹣m（x0+1）+ m2= m2﹣mlnm，m＞0，

記h（m）= m2﹣mlnm，m＞0，

h′（m）= m﹣lnm﹣1，h′′（m）= ﹣ ，

當0＜m＜2時，h′′（m）＜0，當m＞2時，h′′（m）＞0，

故函數h′（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，

如圖所示：

[h′（m）]min=h′（2）=﹣ln2＜0，

又當m→0時，h′（m）＞0，m→+∞，h′（m）＞0，

故函數h′（m）=0有2個根，記為m1，m2（m1＜2＜m2＜6），（h′（6）＞0），

故h（m）在（0，m1）遞增，在（m1，m2）遞減，在（m2，+∞）遞增，

又當m→0時，h（m）＞0，h（m）在m2處取極小值，

由h′（m2）=0， m2﹣lnm2﹣1=0，lnm2= m2﹣1，

故h（m2）= ﹣m2lnm2= ﹣m2（ m2﹣1）

=﹣ +m2=﹣ +1∈（﹣3，1），

故f（x0）＞﹣3

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的遞增區間即可；（Ⅱ）問題轉化為2（x1﹣1）m﹣（ ﹣ ）+e﹣1＜0對任意m＜0恒成立，令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（ ﹣ ）+e﹣1，得到關于x1的不等式組，解出即可；（Ⅲ）求出f（x0）的解析式，記h（m）= m2﹣mlnm，m＞0，根據函數的單調性求出h（m）的取值范圍，從而求出f（x0）的范圍，證明結論即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．