Question

已知橢圓C：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）雙曲線與橢圓C具有相同的焦點，且它們的離心率互為倒數，求雙曲線的方程；
（2）設橢圓C的右焦點為F₂，A、B是橢圓上的點，且

AF2

=2

F2B

，求直線AB的斜率．

Answer 1

（1）由已知，橢圓的焦點坐標為（-1，0），（1，0），離心率為

1

2

，
所以所求雙曲線焦點坐標為（-1，0），（1，0），離心率為2，…（2分）
雙曲線c=1，

c

a

=2，解得a2=

1

4

，b2=

3

4

，
所求雙曲線方程為4x2-

4y2

3

=1．…（4分）
（2）設A（x₁，y₁），由

AF2

=2

F2B

得B(

3-x1

2

，-

y1

2

)，…（5分）
由A，B兩點在橢圓上，得

x12

4

+

y12

3

=1，

(3-x1)2

4

+

y12

3

=4，…（8分）
解得x1=-

1

2

，y1=±

3

4

5

，…（10分）
所以k=

y1

x1-1

=±

5

2

．…（12分）