Question

對任意的實數a、b，a≠0，不等式|2a+3b|+|2a-3b|≥|a|（|x-1|+|x+1|），則實數x的取值范圍是

[-2，2]

．

Answer 1

分析：先分離出含有a，b的式子，即 |x-1|+|x+1|≤

|2a+3b|+|2a-3b|

|a|

恒成立，問題轉化為求右式的最小值即可．

解答：解：由題知，|x-1|+|x+1|≤

|2a+3b|+|2a-3b|

|a|

恒成立，
故|x-1|+|x+1|不大于

|2a+3b|+|2a-3b|

|a|

的最小值（4分）
∵|2a+3b|+||2a-3b|≥|2a+3b+2a-3b|=4|a|，
當且僅當（2a+3b）（2a-3b）≥0時取等號，∴

|2a+3b|+|2a-3b|

|a|

的最小值等于4．（8分）
∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x+1|≤4的解．
解不等式得-2≤x≤2．（10分）
故答案為：[-2，2]．

點評：本題主要考查了不等式的恒成立問題，通常采用分離參數的方法解決，屬于基礎題．