Question

如圖，三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．
（I）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（II）若AC=BC=PA，M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值．

Answer 1

（I）證明：∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PA．
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC；
（II）取PC中點D，連接AD．
∵AC=PA，∴AD⊥PC，
∵平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，
∴AD⊥平面PBC，
連接DM，則∠AMD就是AM與平面PBC所成角．
設AC=BC=PA=a，則AD=

a

2

，AM=

3 a

2

，∴DM=

a

2

，
∴tan∠AMD=

AD

DM

=

2

，
∴AM與平面PBC所成角的正切值是

2

．