Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=4，BC=CD=

7

，點E為線段AD上的一點．現將△DCE沿線段EC翻折到PAC，使得平面PAC⊥平面ABCE，連接PA，PB．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，且點E為線段AD的中點，求直線PE與平面ABCE所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接AC，BD交于點O，在四邊形ABCD中，
∵AB=AD=4，BC=CD=

7

∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴AC⊥BD
又∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC
∴BD⊥平面PAC…（6分）
（Ⅱ）如圖，過點P作AC的垂線，垂足為H，連接EH，EC，并取AO中點F，連接EF，
∵平面PAC⊥平面ABCE，且平面PAC∩平面ABCE=AC，PH⊥AC
∴PH⊥平面ABCE，∴∠PEH即為直線PE與平面ABCE的所成角，
由（Ⅰ）可知，AC⊥BD，且AO=2

3

，CO=

3

，
又PE=2，PC=

7

，設CH=x，則有PH=

7-x2

，EH=

PE2-PH2

=

x2-3

又∵F為AO的中點，在Rt△EFH中，FH=2

3

-x，EF=1
由勾股定理得，(2

3

-x)2+1=x2-3，解得x=

4

3

3

，
∴EH=

2

3

3

，PH=

5

3

3

∴直線PE與平面ABCE的所成角的正弦值即sin∠PEH=

EH

PE

=

3

3

．