Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數），其中．

（Ⅰ）若，求的單調區間；

（Ⅱ）求零點的個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調增區間是；單調減區間是．（Ⅱ）當或時，函數只有一個零點；當或時，函數有兩個零點；當時，函數有三個零點．

【解析】

（Ⅰ）對函數求導，根據導數的正負即可容易判斷函數的單調性；

（Ⅱ）分離參數，構造函數，利用導數研究函數的單調性，即可容易判斷.

（Ⅰ）當時，，故可得，

令，解得，

故在區間單調遞減，在區間單調遞增.

（Ⅱ）因為

故當時，，即一定是函數的一個零點.

又當時，令，分離參數可得：

，令，故可得，

令，解得，

故在區間上單調遞增，在區間和單調遞減.

且當時，，且當時，；

當時，，且當時，；

又，故的圖像如下所示：

故當，即時，與有一個交點，

當，即時，與有一個交點，

當，即時，與有兩個交點，

當，即可時，與沒有交點，

綜上所述：當時，有3個零點；

當時，有1個零點；

當或時，有2個零點.