Question

（2011•聊城一模）已知函數f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-4sin2ωx+a，(ω＞0)，其圖象的相鄰兩個最高點之間的距離為π，
（1） 求函數f（x）的單調遞增區間；
（2） 設函數f（x）在區間[0，

π

2

]上的最小值為-

3

2

，求函數f（x），（x∈R）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，結合正弦函數的單調增區間，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）利用[0，

π

2

]求出函數的最小值，結合已知函數的最小值為-

3

2

，求出a的值，即可得到函數f（x），（x∈R）的解析式，易求函數的值域．

解答：解：（1）f(x)=sin(2ωx-

π

6

)-4sin2ωx+a=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-4×

1-cos2ωx

2

+a
=

3

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx-2+a=

3

sin(2ωx+ 

π

3

)-2+a
由已知得函數f（x）的周期T=π即

2π

2ω

=π
所以ω=1，f（x）=

3

sin(2x+

π

3

)-2+a．
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ    k∈Z，得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ    k∈Z
∴f（x）的單調增區間為：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]    k∈Z．
（2） 當x∈[0，

π

2

]時，

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，sin(2ωx+

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
這時f（x）的最小值為：a-

7

2

，由已知得，a-

7

2

=-

3

2

，a=2，所以函數f（x）=

3

sin(2x+

π

3

)，（x∈R）
函數法（x）的值域[-

3

，

3

]．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡，二倍角公式的應用，注意函數在閉區間上的最值的應用，基本函數的單調性是解好本題的關鍵．